Диофант и неопределенные уравнения При выполнении работы были поставлены следующие задачи задачи задачи Неопределенные уравнения первой степени вида ax + by = c Учебный сайт
Учебные материалы


Диофант и неопределенные уравнения При выполнении работы были поставлены следующие задачи





Диофант и неопределенные уравнения


При выполнении работы были поставлены следующие

задачи

:
  • При выполнении работы были поставлены следующие

    задачи

    :
  • расширить свой кругозор знаний по математике;

  • рассмотреть некоторые методы решения неопределенных уравнений;

  • показать практическое применение неопределенных уравнений.



Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень

  • Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей – и камень

  • Мудрым искусством его скажет усопшего век.

  • Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком

  • И половину шестой встретил с пушком на щеках.

  • Только минула седьмая, с подругою он обручился.

  • С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.

  • Только полжизни отцовской возлюбленный сын его

  • прожил.

  • Отнят он был у отца ранней могилой своей.

  • Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.

  • Тут и увидел предел жизни печальной своей.



Пусть Диофант прожил x лет. Составим и решим уравнение:

  • Умножим уравнение на 84, чтобы избавиться от дробей:



Неопределенные уравнения первой степени

  • 1.) ax + by = с



Неопределенные уравнения первой степени вида ax + by = c

  • Метод перебора



Метод перебора

Рассмотрим и решим уравнение

:

4,5х+6у=57

Нужно найти все натуральные значения переменных х и у
  • Решение. Помножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных чисел, получим:

  • 9х+12у=114

  • Выразим у через х:

  • У= 114 – 9х

  • 12

  • Далее воспользуемся методом перебора

  • (учитывая, что х и у - натуральные):



Таким образом, подставляя вместо х числа, удовлетворяющие равенству, получили некоторые значения у .

  • Таким образом, подставляя вместо х числа, удовлетворяющие равенству, получили некоторые значения у .



Метод спуска

  • 1) Если свободный член с неопределенного уравнения ax + by = c не делится на НОД (a, b), то уравнение не имеет целых корней.



Рассмотрим задачу

: Покупатель приобрел в магазине на 21 р. товара. Но у него в наличии денежные знаки только 5 – рублевого достоинства, а у кассира – 3-рублевого. Требуется знать , можно ли при наличии денег расплатиться с кассиром и как именно?

  • Решение: x – число 5 - рублевок, y – 3 - рублевок.



Подставим в у вместо х дробь 3/2t

  • По условию x > 0, y > 0, значит

  • Кроме того, t – четное, иначе ни x, ни y не будут

  • целыми.

  • При t = 4, 6, 8, … имеем:



Неопределенные уравнения первой степени вида

ax + by + cz= d.

  • Рассмотрим уравнение:

  • Нужно найти любые целые решения уравнения.



Решение:





Придавая z и t целые значения, получим решение исходного уравнения:



Неопределенные уравнения второй степени вида

x2 + y2 = z2



Один из путей решения уравнения в целых числах оказался довольно простым. Запишем подряд квадраты натуральных чисел, отделив их друг от друга запятой. Под каждой запятой запишем разность между последовательными квадратами:

  • 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196…

  • 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 , 21, 23, 25, 27…



Сформулируем такую теорему:

Каждое нечетное число есть разность двух последовательных квадратов

  • если х - нечетное число, то



Числа, найденные по такому правилу, всегда будут составлять решение интересующего нас неопределенного уравнения. Это уравнение будем называть «уравнением Пифагора», а его решения – «пифагоровыми тройками». По этому правилу можно получить уже известные нам тройки:



Заключение

  • Диофантовы уравнения и их решения и по сей день остаются актуальной темой.

  • Умение решать такие уравнения позволяет найти остроумные и сравнительно простые решения казалось бы «неразрешимых» задач, а в практической деятельности значительно сэкономить затраты средств и времени.

  • Проведя данное исследование, я овладела новыми математическими навыками, рассмотрела некоторые методы решения неопределенных уравнений.

  • Изучая диофантовы уравнения, показала практическое им применение, решив несколько задач.


Карта сайта

Последнее изменение этой страницы: 2018-09-09;



2010-05-02 19:40
author-karamzin.ru 2018 год. Все права принадлежат их авторам! Главная